Asal Sayı Hesaplama Her Yerde!
Asal sayı hesaplama her matematik sever için önemlidir. Herkes matematiği oluşturanın sayılar olduğunu bilir. Sayılar denilince de akla sayma sayıları gelir. Bunları herkes bilir; 1, 2, 3, 4, 5, 6… gibi sonsuza kadar giden sayılara sayma sayıları denir. Ancak bunların dışında başka sayılar da vardır! Örneğin bir sayıyı daha küçük parçalara ayırdığınızda bileşik sayı elde edebilirsiniz. Bazı sayılar ise küçük parçalara ayrılmaz. Bu sayılara da asal sayılar denilir.
Asal Sayılar Nedir?
Asal sayı tanımı gereği bölünmeyen, parçalanmayan sayılara denilir. Eski zamanlardan beri her matematikçinin ilgisini asal sayılar çekmiştir. Asal sayıların bu kadar önemli olmasının altında sayı sisteminin bir tür atomları olması yatar. Çünkü tüm sayıları oluşturan asal sayılardır. Bu yüzden “asal sayılar her yerde” ifadesi doğru bir tanımlamadır.
Asal sayıların başlangıcı 1 değil 2’dir ve 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 şeklinde sayılar devam etmektedir. Asal sayılar için gerçek önem arada olan tüm sayıların asal sayıları çarparak oluştuğu gerçeğidir.
Öklid Asal Sayıların Sonsuzluğunu Gösterdi
Asal sayıların önemi Eski Yunan’da anlaşılmıştı. Günümüzden 2300 yıl önce her ne kadar ismini geometriye yaptığı katkılar ile hatırlıyor olsak da Öklid asal sayılar için de önemli tespitler yapmıştı. Asal sayıların sonsuzluğunu gösteren Öklid bunu şu şekilde yapmıştı; elinizde asal sayıların tüm listesinin olduğunu düşünün. Listede yer alan tüm asal sayıları çarpın ve sonrasında bulmuş olduğunuz yanıta 1 ekleyin. Söz konusu yeni sayı tanımından dolayı listede yer alan herhangi asal sayı ile tam bölünemez olacaktır. Çünkü daima 1 kalanı verecektir. Bu yeni sayı böylece ya yeni asaldır ya da listede eksik olan asal sayı ile bölünebilir. Yeni sayıyı listeye eklediğinizde ise işlem tekrar başa dönmüş olur. Bu yüzden liste her durumda eksiktir ve tam değildir.
Asal Sayı Hesaplama Nasıl Yapılır?
Konu asal sayılar olunca matematikçilerin de ilgisini çok çekecek bir alan ortaya çıkıyor. Öklid asal sayıların sonsuzluğunu göstermişti, Eratostenes ise asal sayıların listelenmesi konusunda önemli çalışmalar yaptı. Buna sonradan Eratostenes’in kalburu denildi. Liste, önce 2’nin katlarını, sonra 3’ü, sonra 5’i, sonra 7’yi silmek üzerine kuruluydu. Böylece 2’den 100’e kadar uygulandığında asal sayıları kolayca bulmak mümkün oluyordu.
Ancak asal sayıların listelenmesi için büyük çabalardan söz edilecekse İngiliz matematikçi John Pell’in adının anılması gerekiyor. 1700’lerin başında Pell, adeta tüm işi ve gücünü bırakarak asal sayıları hesaplamaya kendisini verdi. Böylece 100.000’e kadar olan asal sayıları bulabildi. Kendisinin bıraktığı miras sonucunda ise 1800’lerin ortalarında ise diğer matematikçiler 100 milyona kadar olan tüm asal sayıları tespit edebildi.
Bu dönemde Carl Friedrich Gauss tarafından yapılan çalışmalar da ayrıca zikredilmelidir. Gauss, sayılarla ilgili olarak inceleme yapması sonrasında asal sayıların gittikçe daha az görüldüğünü anladı. Onun teoremi ise yaklaşık bir asır sonra asal sayılar teoremi ile kanıtlanmış oldu.
Günümüzde asal sayı hesaplama bilgisayarlar üzerinden çok daha kolay ve pratik şekilde yapılıyor. Ancak matematikçiler de çalışmalarını devam ettiriyor. Eldeki verilere bakıldığında 2 ve 5 dışında tüm asal sayıların sonu 1, 3, 7 ya da 9 olur. 1800’lerde bu rakamlar kesin olarak kanıtlanmıştır. Bunu yüzdelik olarak ifade ettiğimizde bir milyona kadar olan asal sayılarda, yaklaşık yüzde 25 1, yüzde 25 3, yüzde 25 7 ve yüzde 25’i 9 ile bitmektedir.
En Büyük Asal Sayı Nedir?
En büyük asal sayı kesin bir rakam olmayıp matematikçiler tarafından arayışı hâlâ devam eden bir sayıdır. Ancak büyük asal sayılar sadece “büyük” oldukları için değil aynı zamanda pratik açısından da önem taşır. Bu durum verilmiş olan sayının asal çarpanlarına nasıl ayrıldığı ile ilgili olmaktadır. Küçük sayının çarpanlarına ayrılması kolaydır fakat büyük sayıların çarpanlarına ayrılması son derece zordur. Bu yüzden büyük asal sayılar daha fazla güvenlik işleminde kullanılabilir. Böylece büyük asal sayılar günümüzde şifreleme sistemleri için büyük önem taşır.
Asal sayılar sonsuz olduğu için de en büyük asal sayıyı tespit etmek olanaklı değildir. 1996 yılından günümüze asal sayıları araştırma GIMPS tarafından yürütülmektedir. Asal sayılar ile ilgili olarak günümüzde heyecanlı sorunlar da devam etmektedir. Örneğin çözümü için 1 milyon dolar ödül belirlenmiş olan asal sayıların sayı doğrusunda nasıl dağıldığı sorunu çözümü beklemektedir.
